[我爱数学] 第三刊 #广义托勒密定理 #高中公式初中用

本文适合初二上学期高级玩家以及初二下学期&初三玩家阅览.                        

注意,能否使用高中公式取决于测试要求,请规范作答不要盲目使用超纲内容.
小剧场:
你正在考场上奋笔疾书,当你完成了选择题最后一道题目,长舒一口气,觉得自己很有成就感.
你默默的瞟了一眼旁边的晋级玩家,发现他已经开始做后面的大题了......
你不可思议的看了一眼时钟,"啊?不是才过了10分钟吗?"
那么这位高级玩家究竟是如何速通选择题的呢?欢迎来到"高中公式初中用"系列--高级初中玩家速通教程!


时间回到你开始做选择题最后一道题的时候.这似乎是一道圆的综合几何体.你忽然感觉到高中公式的召唤.
你警觉的看了看题目,发现有些不同寻常之处--这个几何图形居然是含有所有对角线的凸四边形!

这是一道很经典的题目,有了题中的条件,我们似乎很快就能使用广义托勒密定理解出题.
不要着急,让我们看看你上辈子是怎么做这道题的:

再来看看如何用广义托勒密定理做这道题:
首先了解广义托勒密定理⁼¹⁼:

1. 在任意凸四边形ABCD中(如图)，

复制代码

这就是"四边形对边乘积之和小于等于对角线的乘积".当四边形四点共圆时,即B,E,D共线,BE+ED=BD时有相等.
再回过来看这道题,是不是十秒钟速通?

引:
^=1=引自百度百科

图一有被遮挡的可以看最后一张图,证明过程(代码框中内容)有缺失见下:
在任意凸四边形ABCD中(如图)，
作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.
则△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,
又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.
BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
所以AC·BD≥AB·CD+AD·BC.

内容有点小遗漏，你上辈子的解法(常规解法)如下

Elan 发表于 2025-1-3 22:41
内容有点小遗漏，你上辈子的解法(常规解法)如下

非常恐怖的完全正经的学术的困难的数学 不敢回答（

其实并不是“广义”托勒密吧。应该说我们用的托勒密是四点共圆下的“狭义”托勒密？