没错，又是从知乎上转载过来的，节选了其中部分内容，其余的作为未上高中的你不必理解，以这篇选段启发你对微积分的兴趣。这里有些公式使用latex写法，注意甄别。
dx 和 dy 本质上就是分析学家们谈虎色变的无穷小量。虽然老师上课的时候会一再告诫，但你把它们当成无穷小量处理不会出任何问题。具体解释如下： 众所周知，牛顿、莱布尼茨创立微积分之后，一个长期被人诟病的地方，就是引入无穷小量所造成的不严谨，无穷小量曾经被人戏称为“消失量之鬼”。在柯西、魏尔斯特拉斯等一众大牛打了极限这个升级补丁之后，微积分才有了今天这个正襟危坐、一派道学先生的严谨面貌。 而 dx 和 dy 就属于对微积分进行整容手术后的历史遗留问题了。首先它们是符号大师莱布尼茨发明的，当初发明的时候， dx 和 dy 就表示无穷小量。今天我们看到的基于极限构建的微积分教材为了不打祖师爷的脸，就不得不时时刻刻在回避无穷小量的使用。于是乎会出现以下精分场景：比如，我上大学的时候，老师刚在讲授导数的时候一再强调，导数符号中的dy/dx不能拆开，说它们是一个整体。但是过了不到半堂课，讲到微分的时候，又说其实微商（微商是导数的别名）就是微分相除之商， dx 和 dy 又可以拆开了。 其实要说明背后的原因，需要提到一点数学史。历史上，对于无穷小量是有两派观点的，类似于华山剑法的剑宗和气宗，两派的争论也类似于剑气之争。PS，以下对两派观点的解释，我是纯粹从运算角度考虑，不涉及背后高深莫测的哲学或者数学知识（当然想涉及，我也不懂）。
其中一派被称之为实无穷派，他们最大的特点认为无穷小量是一种实实在在的量，可以和其他实数一起参与代数运算，比如加减乘除，代入到基本函数里面。比如，实无穷派可以内心毫无波澜地写成下面的等式 dy=sin(x+dx)-sin(x)=2cos(x+\frac{dx}{2})sin(\frac{dx}{2})\approx cos(x)dx 另外，无穷小量和实数一样是有序的，它们可以比较大小。 最早的时候，牛顿、莱布尼茨创立微积分之初，就是持这一观点，当时的微积分也被成为《无穷小分析》。并且基于无穷小量的概念，得到很多正确的结论。可是这时候有人发现数学家们对无穷小量的描述是模糊的、不严谨的。最早提出质疑的是贝克莱大主教，他有一篇短文，文风辛辣，文中把牛顿、莱布尼茨称之为不信神的数学家。文中，贝克莱大主教并不否定无穷小分析的方法能够得到正确结论，而是嘲讽数学家用到的无穷小量一会儿是零、一会儿不是零，好比女人心，琢磨不定，数学比神学更不靠谱。这波嘲讽用郭德纲相声的说法就是：骑着脖子拉屎，拉干的我扒拉下去；拉稀的我擦了它；可是他（贝克莱大主教），是骑着脖子拉痢疾。这是数学家被神棍骑脸的神奇年代！ 
图1 给牛顿造成亿吨打击的贝克莱大主教要说清楚贝克莱大主教曾经给数学家心理造成多大伤害，就必须说说当时数学家口中的无穷小量是什么？用自然语言描述：无穷小量是绝对值大于零、而小于任意正实数的量。 这一观点今天看来也很难被理解，因为绝对值大于零、小于任意正实数的数，在实数轴上是肯定找不到的。今天我们可能想到要扩展数域，比如在实数轴上也找不到 \sqrt{-1} ，但是扩展到复数域上问题就解决了。但是你得设身处地替当时人想想，那时候人们刚刚承认负数也是数，对于复数的认知也是拧拧巴巴的，谁敢为了无穷小量去冒天下之大不韪扩展数域？你要知道，人类历史上第一个企图扩展数域人的下场。其实无穷小量所面临的困境，莱布尼茨本人已经意识到了，他曾经说过数学需要引入一种新的理想数，它与原来的实数相比是无限小或者无限大，但同时有和实数一样的（代数运算）性质。 
图2 摘录自鲁滨逊的《非标准分析》（翻译的有点渣）显然莱布尼茨的徒子徒孙们没有遵守老祖的谆谆教导，而是完全选择了另外一条路径，就是今天课本里面的极限理论。
支持极限理论的这派学者是持潜无穷观点的，所谓潜无穷就是把无穷理解成一个极限过程，即一个永远在路上、永不可达到的过程；相反的，他们不再承认无穷小是一种实实在在的量，也就是无穷小量不能进行加减乘除、不能相互比较大小。根据潜无限的观点，把无穷小量定义为： 对于函数 f(x) ，若 \lim_{x \rightarrow a}{f(x)}=0 ，那么称 x\rightarrow a 时， f(x) 为无穷小量 我们这里举一个具体的例子来说明实无穷论者和潜无穷论者的差别： 对于 f'(x)=\frac{dy}{dx} 和 dy=f'(x)dx ，实无穷论者认为两个公式之间可以互相转换，也就是 dx 和 dy 是实实在在的量，可以加减乘除代数运算；
而对于持潜无穷（极限）观点的人，导数 f'(x)=\frac{dy}{dx} 和微分 dy=f'(x)dx 由两个不同定义给出的公式，二者不能互相转换。 有了以上背景知识之后，我们就明白为什么教材不提dx和dy本质是无穷小量了，因为现在的教材都是根据极限理论编写的，如果承认 dx 和 dy 是无穷小量，也就意味着 \frac{dy}{dx} 表示无穷小量相除，也就同时意味着承认实无穷的存在。 注意我前面说的，实无穷认为无穷小量是一种实实在在的量，可以进行代数运算，比如加减乘除；潜无限即极限理论，不承认实无穷存在，认为无穷小只是一个不可达到的过程，不能进行代数运算。 这里对现在的教材引伸几点： （1）现在由极限定义的导数概念，的确不需要引入无穷小量，但需要对莱布尼茨的导数符号进行额外解释，即规定：导数符号中的 \frac{dy}{dx} 是一个整体，不能拆开。原因见上述。 （2）其实仔细咂摸的话，现代教材已经隐含告诉我们dx和dy是无穷小量了。在定义完导数之后，教程立马又匆匆定义了无穷小量。 何为无穷小量？对于函数f(x)，当x->a是，若f(x)->0，那么我们可以说：在x->0时，f(x)为无穷小量。 根据这个定义，显然 dx=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\Delta x} 是无穷小量。又有 dy=f'(x)dx 成立，又根据：一个无穷小量乘以一个有界量仍是无穷小量，dy不就也是无穷小量嘛？ （3）在极限理论框架下的微积分教科书里面，毫无疑问dx和dy也是无穷小量，只是它们是潜无穷，不是实无穷，也就是：潜无穷讲究的是个过程，不是实实在在的量，不能四则运算，不能比大小。 （4）按照常理，极限理论创立之后就应该把这些实无穷存在的痕迹，清理的干干净净，可惜还没有做到，dx和dy就是实无穷的阴魂不散。
说了这么多，最后我总结一下： （1）实无穷和潜无限现在都是严谨的数学语言，潜无穷的严谨性靠的是极限ε-δ语言，实无穷的严谨性是靠扩展数域（详细参考《非标准分析》教材）。 （2）所以在理解概念的时候，我们不用在纠结于到底支持那一派，不存在谁比谁严谨，或者谁更高级、更本质的问题，怎么理解方便怎么来。 （3）有人再在你面前哔哔，无穷小量不够严谨，你就可以把一本《非标准分析》的书糊在他脸上。 （4）相比潜无穷，实无穷更符合人类的直觉，更容易理解。 （5）现在批评实无穷的声音仍然很大，温和一点的反对者，认为“非标准分析”没有创造什么新知识；激进一点的反对者，更是把《非标准分析（Non-standard Analysis）》称之为《粪析（Bullshit Analysis）》。 （6）经常看到一种说法是无穷小量已经落伍了，数学家已经抛弃这个概念了。对于这种人我只能说太天真了！数学家一个个精的和猴一样，在他们发现被揪着无穷小的漏洞猛锤的时候，人家已经很识趣的换了个说法。今天的所谓极限定义的无穷小其实只是无穷小量的另外一种说法，就像我前面反复说过几遍的观点，极限定义的是潜无穷，讲的是个过程。
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